数学大师琼斯与清华三亚国际数学论坛

2020-12-17 11:13:59 128

2020 年 9 月 6 日,菲尔兹奖获得者、数学大师琼斯教授(Vaughan Jones)在美国那什维尔市因耳部感染引发的并发症去世,享年67岁。听闻这个消息,清华三亚国际数学论坛的同事们无不感到震惊和惋惜。琼斯教授曾经应丘成桐先生的邀请,多次来访清华三亚国际数学论坛,他的印记留在了清华三亚国际数学论坛,也深深地留在了我们这些论坛人的心中。


2010年12月23-26日,由数学大师丘成桐先生倡议发起的“清华三亚国际数学论坛”在位于三亚市亚龙湾的天域大酒店隆重举行,这是这个后来产生了巨大影响的高水平系列国际数学会议的第一届。琼斯教授与诺贝尔物理学奖获得者、美国加州大学圣塔芭芭拉分校教授David Jonathan Gross,美国哈佛大学教授Benedict Gross、荷兰皇家艺术与科学院院长RobbertDijkgraaf、美国加州理工学院教授HirosiOogur等著名学者一起应邀赴会,参加了这次具有重要意义的国际数学会议,并在会议期间象大多数参会数学家一样,穿上了风格鲜明的海南“岛服”。


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琼斯教授在首届清华三亚国际数学论坛(前排左一)



第一次的三亚之行显然给琼斯教授留下了不错的印象,2016年12月19-23日,琼斯教授又第二次应邀来到三亚,这次是在已经建设完成的清华三亚国际数学论坛园区,参加第七届清华三亚国际数学论坛。他还在这次的会议期间,亲自主持了一个主题为“数学物理和子因子问题”的数学大师分论坛(Subfactors and Mathematical Physics: Vaughan Jones)。


这次会议期间,我们论坛管理中心的同事们有机会与琼斯教授有较多的接触,他魁伟的身躯、平易近人的性格和极有特色的学者风度给我们留下了深刻的印象。


琼斯教授在清华三亚国际数学论坛会议大楼门口与参会学者合影

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琼斯教授在第七届清华三亚国际数学论坛讲台上


会议期间,我们找了一个机会,请琼斯教授接受我们的采访,并请他在清华三亚国际数学论坛图书馆的“菲尔兹奖获得者著作特藏”中收藏的他本人的著作上签名。琼斯教授欣然同意了我们的请求。


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琼斯教授接受论坛工作人员采访


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琼斯教授在论坛图书馆收藏的他本人的著作中签名留念


        给我们留下最深印象的,则是琼斯教授沉浸在数学王国中时,那种不拘小节、浑然忘我的鲜明风格。会议期间,他在论坛园区总是穿着一双拖鞋,穿行在会议大楼、餐厅和宿舍之间。最特别的是有一次在大报告厅讲台上,他居然把鞋子脱了,一边光着大脚走来走去,一边继续他的讲演。这一幕情景直到现在,还会不时地在工作人员的脑海中浮现。


160810329593178089.jpg琼斯教授在清华三亚国际数学论坛大报告厅赤脚讲演


会议期间,组织者安排琼斯教授在论坛园区的“数学大师林”里栽种下一棵果树,留作纪念。琼斯教授得知此事非常高兴,他认真地给这棵人心果树培土、浇水,并和参会人员们一起在树前照了合影。如今,琼斯教授种下的这棵人心果树长得枝繁叶茂,而且结了非常多的果实。琼斯教授在天堂看到自己亲手栽下的果树果实累累,心里也会感到高兴的吧!


琼斯教授在数学大师林中种下的果树,如今已葱葱郁郁,果实累累。


2018年5月,在清华三亚国际数学论坛的会议大厅里,并排挂上了迄今为止全部60位菲尔兹奖获得者的画像,1990年获得菲尔兹奖的琼斯教授的画像也在中间。琼斯教授不仅把他的印记留在了我们这些论坛人的心中,也永远地留在了清华三亚国际数学论坛里。


清华三亚国际数学论坛会议大厅里悬挂的琼斯教授画像


清华三亚国际数学论坛

2020年12月

何守喜|编辑

高瑄|审核


以下内容源引自公众号“数理人文”,感谢撰文作者丘成桐教授和刘正伟教授。


庚子年秋悼吾友琼斯


撰文 | 丘成桐(清华大学,哈佛大学)


今年秋天,我在北京正在开线上会议时,突然接到美国哈佛大学 Hugh Woodin 教授的电邮。他说我们的朋友 Vaughan Jones 教授在几个钟头前去逝。我吓了一跳,因为我们最近还在讨论如何安排他到哈佛大学来任职的事情。他本人也表示有这个意愿,没有任何病痛的征兆。


他是算子代数的大师,他开创的近代纽结理论成为量子物理和拓朴学发展的重要桥梁。Edward Witten 因此引人 Chern—Simons 的规范场来解释琼斯多项式(Jones Polynomial)。这是数学物理的一个里程碑,过去三十年来的发展,改变了凝聚态物理的理论。


Jones 教授喜欢中国,多次访问我们在三亚的数学论坛,还植了一株果树。我们在三亚论坛的数学大厅上,一直挂著 Jones 教授的一幅肖像图。抚今追昔,使人神伤。哲人虽逝,典范长存!愿 Jones 教授,在天安息!


破浪乘风逞矫姿,

每临碧海忆琼斯。

编辫绳结开新局,

渺矣斯人谁可期?



悼唁—— Vaughan Jones


撰文 | 刘正伟(清华大学丘成桐数学科学中心)


著名的新西兰数学家沃恩·琼斯爵士(Sir Vaughan Frederick Randal Jones),于 2020 年 9 月 6 日在美国那什维尔市(Nashville)不幸逝世。很多人都是通过琼斯多项式(Jones Polynomial)了解到 Jones 的工作。这项工作带来了数学和物理多个领域的深刻变革,也被广泛应用于生物学的 DNA 扭结结构识别中。


Jones 于 1952 年 12 月 31 日出生于新西兰的小镇 Gisborne。在 St. Peters School 和 Auckland Grammar School上中学期间,Jones 对数学和自然科学就产生了浓厚的兴趣。Jones于 1972 年在 University ofAuckland 获得学士学位,次年获得硕士学位,并获得瑞士政府奖学金(Swiss GovernmentScholarship),为他早期的学术生涯提供了保障。



Jones 童年的照片(来源:Wendy)


之后 Jones 前往瑞士的 University of Geneva 攻读博士。读博期间 Jones 遇到了他的挚爱 Martha,Jones 一直叫她的小名 Wendy。1979年,他们在 Wendy 的家乡 Westfield,New Jersey 步入了婚姻的殿堂。和很多著名的数学家一样,在爱情的滋润下,Jones完成了一系列出色的工作,第一项便是他的博士毕业论文。

Jones 婚礼照片(来源:Wendy)


1979 年,在 André Haefliger 和 Alain Connes 两位导师的指导下,Jones 获得了博士学位。Jones 在毕业论文中通过群的三阶上同调给出了二一型超有限因子上的有限群作用的分类,这个工作受到了 Alain Connes 之前关于循环群作用分类的启发。这个工作也可以解读为有限群子因子的分类,而三阶上同调的分类结果也为之后子因子理论与三维拓扑量子场论的联系埋下了伏笔。


博士毕业后,Jones 前往美国,在加州大学洛杉矶分校(UCLA)任 Hedrick Assistant Professor(1980--81),在宾夕法尼亚大学(University of Pennsylvania)任助理教授(1981--1984)和副教授(1984--1985),在加州大学伯克利分校(UC Berkeley)任教授(1985--2020)。2011 年退休后在范德堡大学(Vanderbilt University)任Stevenson DistinguishedProfessor(2011--2020)。


纵观 Jones 的学术生涯,如果选取一个代表性的名词,我相信 Jones 会选择子因子(Subfactors)。这是他学术生涯中最关心的研究对象,他的研究大多是围绕子因子理论展开的。


80 年代初,Jones 开始系统地研究子因子理论,子因子的大小可以通过它的指标来刻画,指标可以看成群的阶的推广。不同于通常的指标理论,子因子的指标的取值范围可以是连续的正数,这个现象可以追溯到 Francis Murray 和 John von Neumann 早期关于因子的模的分类。Jones 在 1983 年完成了子因子指标的分类,神奇之处在于这个指标可以取到 4 到无穷的任意数值,而 4 以下是一个离散序列。这个量子化现象最终与量子物理产生了深刻的联系。这项工作是现代子因子理论的开端,子因子的指标也被称为 Jones 指标。


Jones 指标分类工作中最难的部分是指标小于 4 的子因子构造。Jones 发现这类子因子的存在性对应于统计物理中 Temperley—Lieb 代数上 trace 的半正定性,进而发现了子因子理论与可积系统之间的联系。在研究这类代数的表示论时,Jones 了解到这类代数与辫群(braid group)的关系,并由此得到新的辫群表示。(当时数学界还不怎么关心辫群表示的研究。)转折点来自于 1984 年 Jones 与 JoanBirman 的第一次见面。Birman 是扭结理论的专家,她告诉 Jones 如果辨群表示有 Markov trace,那么就可以得到扭结不变量,而 Jones 通过子因子理论构造的 trace 很有可能满足这个条件。Jones 当晚证实了 Birman 的这个想法,并由此得到了新的扭结不变量,即著名的琼斯多项式。琼斯多项式的定义和计算都很简洁,可以用来区分多种扭结,Jones 以此回答了纽结理论中一系列长期悬而未决的问题,包括 Peter Tait 在 19 世纪提出的多个猜想,为现代扭结理论的研究开启了新篇章。


1990 年 Jones 在京都举办的国际数学家大会上获得菲尔兹奖,以表彰他这一系列重大突破。


Jones 在 ICM 1990 获菲尔兹奖(来源:Wendy)


Jones 在 80 年代的工作不仅建立了算子代数与扭结理论的紧密联系,而且还引发了低维拓扑、量子群、表示论等多个数学领域以及统计物理、量子场论之间的联系。当时 Michael Atiyah 在普林斯顿高等研究院组织讨论班,希望找到低维拓扑与表示论之间的联系,但是迟迟没有进展,而 Jones 的工作恰恰是他们所追寻的。在众多数学家和物理学家的共同努力下,数学和物理多个领域再次融为一体,蓬勃发展。数学和物理相辅相成,诞生了多个新兴的交叉领域,如量子拓扑。最具代表性的是 Edward Witten 通过 Chern—Simons 理论将琼斯多项式解读为拓扑量子场论中的路径积分。


上世纪 90 年代,Jones 和多位专家系统地研究了子因子的表示论,并给出 Jones 指标不超过 4 的超有限子因子的 ADE 分类。这个分类结果和共形场论中的 ADE 分类相互印证。通过 10 年时间,Jones 于 1999年完成了著作《平面代数 I》(Planar AlgebrasI, arXiv:math/9909027)。(因特殊原因,这本书并未正式发表。)平面代数是一种刻画子因子表示论的方式,整合了算子代数,扭结理论,表示论,范畴论,拓扑量子场论,可积系统等多个领域的思想方法。这本书中含有大量有代表性的深刻的例子。相比于抽象的理论,他更喜欢精妙的例子。


近 20 年,通过平面代数理论,Jones 和他的学生们给出了 Jones 指标不超过 5.25 的子因子平面代数的分类。Jones 在《平面代数 I》 这本书中还提出了另外一种通过生成元和生成关系进行分类的方案。在这些分类工作中我们发现了一系列有趣的新例子。基于平面代数,Jones 还进一步研究了子因子理论与自由概率论、Thompson 群等理论之间的联系。子因子领域的发展包含了多位专家代表性的工作,这里不一一赘述。2


Jones 的工作原创性极强,对数学和物理的多个领域都有深刻影响。他培养了 30 多位博士生。他的学生和合作者遍及世界各地。Jones 曾获得菲尔兹奖等多项重要国际奖项。Jones 为新西兰的数学发展做出了巨大贡献,获得 1991 新西兰卢瑟福奖,2002 新西兰荣誉勋章,2009 新西兰骑士勋章。Jones 也大力支持中国数学的发展,获得 2019 华人数学家大会合作奖。Jones 是多个国家协会会员,包括英国皇家协会、新西兰皇家协会、澳大利亚科学院、美国科学与艺术学院、美国科学院等。Jones 曾担任美国数学会副主席(2004--2006)和国际数学联盟副主席(2014--2018)。